59 lines
5.6 KiB
Text
59 lines
5.6 KiB
Text
Fibonacci sekos pavadinimas kilo iš italų matematiko Leonardo Fibonacci, žinomo kaip Fibonacci, kuris ją pristatė Vakarų pasauliui savo 1202 metų darbe "Liber Abaci". Ši seka kyla iš problemos apie triušių populiacijos augimą, kur kiekviena triušių pora pradeda gaminti kitą porą nuo antrojo mėnesio. Gautas skaičių seka {1, 1, 2, 3, 5, 8, ...} parodo paprastą rekursinį ryšį, kur kiekvienas skaičius yra dviejų prieš tai buvusių skaičių suma.
|
||
|
||
"Liber Abaci" buvo esminis darbas, pristatęs hindų-arabų skaitmenų sistemą Europai, kuri apima skaitmenis nuo 0 iki 9 ir pozicinę skaičių notaciją kur kiekvienas skaitmuo buvo skaičius 10 laipsnis, o visas skaičius - jų suma. Fibonacci apie šią sistemą sužinojo keliaudamas po Šiaurės Afriką su savo prekybininko tėvu. Jo knyga siekė iliustruoti praktinius šios sistemos taikymus, palengvindama jų priėmimą tarp Europos prekybininkų ir mokslininkų. Jo pristatyta specifinė triušių problema ne tik iliustravo matematikos principus, bet ir parodė naujovišką Fibonacci požiūrį į matematiną. Nors šios sekos aprašymas yra ankstyviausiai žinomas Vakarų literatūroje, panašios sekos buvo dokumentuotos Indijos matematikų jau VI amžiuje, tokių kaip Pingala, kurie tyrinėjo kombinatorinius modelius.
|
||
|
||
Istorija veda prie kultūros, ir Fibonacci istorija nėra tuo išskirtinė. Fibonacci sekos kultūrinė reikšmė viršija jos matematikos savybes, jungdama įvairias civilizacijas ir jų indėlį. Pavyzdžiui, Fibonacci pristatymas arabų dešimtainę skaičiavimo sistemą, revoliucionavo skaičiavimo ir įrašų tvarkymo praktiką Europoje, atvėręs kelią bankininkystės ir prekybos pažangai viduramžiais, ši nauja santvarka dar pakeitė tai, kaip skaičiai buvo reprezentuojami ir suprantami įvairiose srityse. Be to, Fibonacci seka pasirodo gamtoje, nuo lapų išdėstymo iki spiralinių kriauklių, iliustruodama gilius ryšius tarp matematikos ir gamtos pasaulio. Šis reiškinys žavėjo mokslininkus ir matematikus, paskatinęs tyrimus apie jo poveikį biologijai, kultūrai, ir menui.
|
||
|
||
Formaliai Fibonacci seka yra apibrėžiama kaip matematinė progresija, prasidedanti nuo skaičių 0 ir 1, o kiekvienas sekantis skaičius yra dviejų ankstesniųjų narių suma. Matematiškai Fibonacci seka gali būti apibrėžta rekursine funkcija f(x) = f(x - 1) + f(x - 2), kur bazinis atvejis yra f(x) = x, kai x < 2 ir x ∈ N∪{0}. Šis paprastas, tačiau galingas, ryšys atskleidžia modelį, Fibonacci seką, kuri susijusi su įvairiomis sritimis, tokiomis kaip menas, gamta, ir net ekonomika.
|
||
|
||
Vienas iš įdomiausių Fibonacci sekos aspektų yra jos ryšys su auksine proporcija, žymima graikiška raide phi (φ), kuri lygi (1 + √5)/2. Auksinė proporcija atsiranda, kai imamas Fibonacci sekos skaičių santykis. Didėjant n, santykis f(n + 1)/f(n) artėja prie φ. Šį artėjimą galima matematiškai įrodyti nagrinėjant šio santykio ribą, kai n artėja prie begalybės. Konkrečiai, jei mes leidžiame:
|
||
|
||
L = f(n+1)/f(n)
|
||
lim n->inf
|
||
|
||
Išsprendžiame limitą:
|
||
|
||
f(n+1) ≈ L^{n+1) = L^n*L
|
||
f(n) ≈ L^n
|
||
|
||
L = L^n*L/L^n
|
||
lim n->inf
|
||
L = L
|
||
lim n->inf
|
||
|
||
Ir šis limitas mums parodo, jog L yra nekintamasis.
|
||
|
||
Toliau, ieškome lygties sprendimo pagal L:
|
||
|
||
f(n) = L^n
|
||
Todėl, L^n = L^{n - 1} + L^{n - 2}
|
||
|
||
L^n = L^{n - 1} + L^{n - 2} |: L^{n - 2}
|
||
L^2 = L + 1
|
||
L^2 - L - 1 = 0
|
||
|
||
Lygties L^2 - L - 1 = 0 sprendiniai:
|
||
|
||
L{1,2} = {(1+√5)/2; (1-√5)/2}
|
||
|
||
Iš to gauname jog:
|
||
|
||
φ = (1+√5)/2 ≈ 1.6180339887 (auksinis santykis phi)
|
||
ψ = (1-√5)/2 ≈ -0.618033989 (auksinio santykio konjugatas psi)
|
||
|
||
Ir mes gauname jog nekintamasis L yra (1+√5)/2, kas yra šiais laikas žymima φ raide, o jo konjugatas ψ yra naudojamas kitose srityse.
|
||
|
||
Auksinė proporcija nėra tik abstrakti koncepcija, ji pasireiškia įvairiuose gamtos reiškiniuose ir meninėse kompozicijose. Pavyzdžiui, daugelis augalų demonstruoja šakų modelius, kurie atitinka Fibonacci skaičius ar formą, o klasikinė architektūra dažnai apima proporcijas, kurios atitinka φ. Šis estetinis patrauklumas kyla iš pusiausvyros ir harmonijos, kurią sukuria šie santykiai.
|
||
|
||
Norint giliau panagrinėti Fibonacci sekos matematikos sudėtingumą ir jos ryšį su auksine proporcija, galime ištirti Binet formulę. Ši formulė suteikia uždarojo tipo išraišką n-tam Fibonacci skaičiui apskaičiuoti be ankstesnių verčių ir rekursinio summavimo. Binet formulė pateikiama taip:
|
||
|
||
f(n) = (φ^n - ψ^n) / √5
|
||
|
||
Ši formulė žymiai supaprastina mūsų skaičiavimus didelioms n vertėms, leidžiant mums tiesiogiai apskaičiuoti Fibonacci skaičius. Šios formulės išvestis apima charakteristinės lygybės bei limito sprendimą, gautą iš Fibonacci skaičių rekursinės lygties.
|
||
|
||
MLA (Modern Language Association) citavimai:
|
||
|
||
1. Beebe, Robert. "Liber Abaci." University of Utah, 13 Dec. 2009, https://www.math.utah.edu/~beebe/software/java/fibonacci/liber-abaci.html. Accessed 29 Oct. 2024.
|
||
2. Knorr, Wilbur R. , Berggren, John L. , Folkerts, Menso , Fraser, Craig G. and Gray, Jeremy John. "mathematics". Encyclopedia Britannica, 14 Oct. 2024, https://www.britannica.com/science/mathematics. Accessed 29 October 2024.
|
||
3. Parmanand Singh. "The so-called fibonacci numbers in ancient and medieval India". Historia Mathematica volume 12, issue 3, August 1985, pp. 229-224. https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0315086085900217?via%3Dihub. Accessed 29 October 2024.
|
||
4. Newton, Lynn D. “Fibonacci and Nature: Mathematics Investigations for Schools.” Mathematics in School, vol. 16, no. 5, 1987, pp. 2–8. JSTOR, http://www.jstor.org/stable/30214387. Accessed 29 Oct. 2024.
|