annual-school-project-24-25/istorija-2.txt

I ĮVADAS



1.1 TEMOS AKTUALUMAS



Fibonačio seka, pirmą kartą aprašyta viduramžių matematikos pionieriaus Leonardo Pizietio (Fibonačio) 1202 metais, yra ne tik matematinis konstruktas, bet ir gilių ryšių su gamta simbolis. Ši seka, kurioje kiekvienas skaičius yra dviejų prieš tai einančių skaičių suma, pasireiškia įvairiose biologinėse struktūrose ir procesuose. Pavyzdžiui, augalų lapų išsidėstyme, žiedlapių skaičiuje gėlėse ir net gyvūnų kūno proporcijos kurios dažnai atitinka Fibonačio seką. Jos buvimas gamtoje rodo harmoniją ir efektyvumą, leidžiančius organizmams optimizuoti energijos išteklius ir augimo procesus.

Fibonačio sekos taikymas realiame pasaulyje yra platus ir įvairiapusis. Ji naudojama ekologijoje, siekiant modeliuoti gyvūnų populiacijų dinamiką, augalų augimą ir ekosistemų pusiausvyrą. Be to, ši seka randama meninėje kūryboje ir architektūroje, kur ji padeda kurti estetiškai patrauklius dizainus. Matematiniai modeliai, paremti Fibonačio seka, leidžia prognozuoti gamtos reiškinius ir suprasti biologinės įvairovės aspektus. Dėl šių savybių Fibonačio seka yra neatsiejama nuo šiuolaikinių mokslinių tyrimų ir praktinių taikymų, leidžiančių geriau pažinti mus supančią aplinką.

1.2 TIKSLAI



    Išnagrinėti Fibonačio sekos istoriją ir jos matematinį aprašymą, bei jos susiejima su auksiniu santykiu Phi.

    Teoriškai ir praktiškai išnagrinėti, kaip ši seka pasireiškia gamtos struktūrose, pavyzdžiui, augalų lapų išsidėstyme, sėklų išdėstyme saulėgrąžose ir t.t.

    Sukurti matematinį modelį, demonstruojantį, kaip Fibonačio seka gali būti taikoma augalų augimo prognozavimui naudojant praktinius ir teorinius pastebėjimus.



1.3 UŽDAVINIAI



    Surinkti ir suprasti istorinius bei akademinius šaltinius apie Fibonačio seką.

    Surinkti akademinius pavyzdžius, kurie padėtų suprasti Fibonačio sekos pasireiškimą gamtos struktūrose, ir pritaikiti radimus praktiškai.

    Suprasti matematinių modelių sampratą ir turint praktinius bei teorinius duomenis, sukurti kuo tikslesnį modelį aprašant augalo augimą ir/ar kitus vystymosi aspektus.



1.4 METODAI



    Mokslinių tyrimų skaitymas, supratimas, ir santrauka.

    Praktinis bandymas su greitai augančiu augalu.

    ???





II TEORINĖ DALIS



2.1 ISTORINIS KONTEKSTAS



Fibonačio seka, pavadinta italų matematikos mokslininko Leonardo Fibonačio vardu, yra žinoma kaip vienu iš žymiausių ir plačiausiai žinomų matematikos konstruktų per visą istoriją. Jos atsiradimas ir pristatymas 1202 metais knygoje „Liber Abaci“ reikšmingai pakeitė matematikos ir skaičiavimo metodus Europoje. Fibonačio knyga, išleista Italijoje, buvo pirmasis pagrindinis darbas, kuriame išsamiai pristatoma hindų-arabų skaitmenų sistema – tai yra sistema, kurioje naudojama skaičių sistema nuo 0 iki 9 ir pozicinė skaičiavimo notacija. Ši skaitmenų sistema leido atlikti sudėtingesnius ir tiksliau apskaičiuotus matematikos uždavinius, o jos priėmimas ir įdiegimas Vakarų pasaulyje tapo esminiu žingsniu link šiuolaikinės matematikos, bankininkystės, ir prekybos vystymosi viduramžiais. Dėl šio svarbaus darbo Fibonačio indėlis į Vakarų matematiką buvo nepaprastai reikšmingas, o jo seka ir šių principų įtaka išlieka gyvybinga iki šių dienų.

Fibonačio seka buvo susijusi su realaus pasaulio problema, kurią Fibonačio pristatė savo knygoje - kaip triušių populiacijos augimo modelis. Pagrindinė prielaida buvo tokia, kad kiekviena triušių pora, pasiekusi antrąjį mėnesį, pradeda kurti naujas poras, ir kiekviena šių porų taip pat pradeda daugintis po dviejų mėnesių. Kiekvienas skaičius sekoje - 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8 ir taip toliau - rodo triušių porų skaičių bet kuriame mėnesyje. Tai suformavo paprastą, tačiau labai įdomią seką, kurioje kiekvienas naujas skaičius atsiranda kaip dviejų ankstesniųjų suma. Šis modelis suteikė puikų pavyzdį, kaip matematikos principai gali būti pritaikyti gamtos ir gyvenimo reiškiniams, taip sukurdamas ryšį tarp teorinės ir praktinės matematikos.

 Įdomu, kad Fibonačio seka nėra unikali tik Vakarų pasauliui. Nors ji buvo pirmą kartą išsamiai aprašyta „Liber Abaci“, panašios sekos ir principai buvo žinomi ir senovės Indijos matematikams. Jau VI amžiuje, indų matematikas Pingala tyrinėjo kombinatorinius modelius, ir jo darbuose galima rasti sekų, kurios yra panašios į Fibonačio seką. Tai rodo, kad matematika, nors ir vystėsi skirtingose kultūrose, turėjo bendrų pagrindinių principų, kurie buvo naudojami įvairiuose pasaulio kampeliuose.

Fibonačio seka taip pat tapo svarbiu simboliu ne tik teorinės matematikos, bet ir jos praktinės vertės kontekste. Jo sekos skaičiai ne tik matomi populiacijos augimo modeliuose, bet ir atsiranda gamtoje, kas dar labiau įtvirtina jos universalumą. Pavyzdžiui, augalai dažnai atkartoja Fibonačio seką savo lapų, gėlių žiedų, ar kitų struktūrų išdėstyme. Pavyzdžių galima rasti daug, tačiau labai žymūs yra saulėgrąžų sėklų išdėstymas, kuris dažnai atitinka Fibonačio seką, taip pat spiralės formos, kurias galima pastebėti jūros kriauklėse ar net galaktikose. Tokie gamtos reiškiniai rodo, kad matematika nėra tik abstrakti žmogaus kūryba, bet ir neatsiejama visatos struktūrų dalis.

Šiandien, Fibonačio seka turi dar daugiau sričių kurioje ji yra pritaikoma: ji pasirodo šiuolaikinėje matematikos taikymo srityse, tokiose kaip kompiuteriniuose algoritmuose, finansų analizėje ir net meno kūriniuose. Pavyzdžiui, Fibonačio skaičiai naudojami finansuose, norint prognozuoti rinkos kitimus, nes jie padeda analizuoti ir modeliuoti kainų pokyčius. Be to, meno kūriniai, ypač renesanso laikotarpiu, kartais naudoja Fibonacci sekos proporcijas siekiant sukurti harmoningas ir estetiškai patrauklias kompozicijas. Visa tai pabrėžia Fibonačio sekos universalumą ir jos plačią įtaką įvairiose srityse – nuo meno, iki informatikos – ir perteikiant matematiką kaip savotišką meno formą.



2.2 MATEMATINIS APRAŠYMAS



Fibonačio seka yra begalinė skaičių seka, kurios kiekvienas narys yra dviejų ankstesnių narių suma. Ši seka prasideda nuo dviejų pradinių reikšmių, dažniausiai 0 ir 1, ir toliau tęsiasi taip, kad kiekvienas kitas skaičius atitinka ankstesnių dviejų narių sumą. Matematiškai ji gali būti aprašyta sekos formulėmis:

 1. Rekursinę formulė: [Equation]

Ši formulė nurodo, kad kiekvienas skaičius sekos yra lygus ankstesniojo ir už jo einančio skaičiaus sumai. Tačiau, šis metodas nėra optimaliausias, kadangi mes turime apskaičiuoti visus narius esančius prieš n, kitais žodžiais, funkcijos f sudėtingumas laiko atžvilgiu yra [Equation].

2. Binet'o formulę: [Equation]

Kur [Equation] yra auksinė proporcija (žinoma kaip Fibonačio skaičius). Binet'o formulė suteikia tikslų ir tiesioginiį Fibonačio sekos nario skaičiavimą, tačiau ją naudojant galima pastebėti, kad Fibonačio sekos skaičiai greitai auga eksponentiškai, artėdami prie skaičiaus [Equation], kuris, kaip auksinė proporcija, dažnai atsiranda gamtos struktūrose. Ši formulė yra optimaliausia, kadangi mes galime tiksliai apskaičiuoti n-tajį Fibonačio sekos skaičių [Equation] laiku.

3. Santykiai ir auksinė proporcija: [Equation]

Vienas iš įdomiausių Fibonačio sekos bruožų yra tai, kad skaičių santykiai tarp dviejų sekos narių artėja prie auksinės proporcijos φ, kai nariai tampa didesni. Todėl, jei norime gauti apytikslę φ reikšmę ar atvirkščiai, galime naudoti šią savybę.



Šios formulės mums padeda optimaliai dirbti su Fibonačio seka, leidžiančios greitai ir tiksliai apskaičiuoti narius bei analizuoti jų savybes. Rekursinė formulė, nors ir suteikia intuityvų supratimą apie sekos struktūrą, gali būti neefektyvi didesniems skaičiams, tačiau Binet'o formulė, turinti [Equation] laiko sudėtingumą, atveria galimybes dirbti su dideliais skaičiais be papildomų iteracijų. Auksinė proporcija, kurią atspindi Fibonačio santykiai, ne tik yra matematiškai įdomi, bet ir turi praktinį pritaikymą gamtoje, mene bei technologijose, o visa tai pabrėžia Fibonačio sekos universalumą ir svarbą tiek teorinėje, tiek praktinėje matematikoje.





III DARBO EIGA

...