coffee/coffee.pygments
Archived
1
0
Fork 0
Code Issues Pull requests Projects Releases Packages Wiki Activity Actions
This repository has been archived on 2024-06-20. You can view files and clone it, but you cannot make any changes to it's state, such as pushing and creating new issues, pull requests or comments.
coffee.pygments/tests/examplefiles/isabelle/example_unicode.thy.output
Dacit dab512c997
Added cartouche handling for Isabelle lexer (#2159) 
Co-authored-by: Fabian Huch <huch@in.tum.de>
2022-06-28 12:55:24 +02:00

7785 lines
195 KiB
Text
Generated
Raw Permalink Blame History

This file contains ambiguous Unicode characters

This file contains Unicode characters that might be confused with other characters. If you think that this is intentional, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to reveal them.

'(*' Comment
' from Isabelle2021-1 src/HOL/Power.thy; BSD license ' Comment
'*)' Comment
'\n\n' Text.Whitespace
'(*' Comment
' Title: HOL/Power.thy\n Author: Lawrence C Paulson, Cambridge University Computer Laboratory\n Copyright 1997 University of Cambridge\n' Comment
'*)' Comment
'\n\n' Text.Whitespace
'section' Generic.Subheading
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Exponentiation' Literal.String
'›' Literal.String
'\n\n' Text.Whitespace
'theory' Keyword
' ' Text.Whitespace
'Power' Name
'\n ' Text.Whitespace
'imports' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'Num' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'subsection' Generic.Subheading
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Powers for Arbitrary Monoids' Literal.String
'›' Literal.String
'\n\n' Text.Whitespace
'class' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power' Name
' ' Text.Whitespace
'=' Operator
' ' Text.Whitespace
'one' Name
' ' Text.Whitespace
'+' Operator
' ' Text.Whitespace
'times' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'primrec' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
"'a ⇒ nat ⇒ 'a" Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'infixr' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'^' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'80' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'where' Keyword.Pseudo
'\n ' Text.Whitespace
'power_0' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ 0 = 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'|' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_Suc' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ Suc n = a * a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n\n' Text.Whitespace
'notation' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'latex' Name
' ' Text.Whitespace
'output' Keyword.Pseudo
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'power' Name
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'"' Literal.String
'(_⇗_⇖)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'1000' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'1000' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Special syntax for squares.' Literal.String
'›' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'abbreviation' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power2' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
"'a ⇒ 'a" Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'"' Literal.String
'(_⇧2)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'1000' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'999' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'where' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x⇧2 ≡ x ^ 2' Literal.String
'"' Literal.String
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'includes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'lifting_syntax' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_transfer' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'transfer_rule' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'(R ===> (=) ===> R) (^) (^)' Literal.String
'›' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'if' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'transfer_rule' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'R 1 1' Literal.String
'›' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'(R ===> R ===> R) (' Literal.String
'*' Literal.String
') (' Literal.String
'*' Literal.String
')' Literal.String
'›' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'for' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'R' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
"'a::power ⇒ 'b::power ⇒ bool" Literal.String
'›' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_def' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'abs_def' Name
']' Operator
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'transfer_prover' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'monoid_mult' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'subclass' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power' Name
' ' Text.Whitespace
'.' Operator.Word
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_one' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 ^ n = 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp_all' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_one_right' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ 1 = a' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_Suc0_right' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ Suc 0 = a' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_commutes' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ n * a = a * a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'mult.assoc' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_Suc2' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ Suc n = a ^ n * a' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_commutes' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ (m + n) = a ^ m * a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'm' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'algebra_simps' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_mult' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ (m * n) = (a ^ m) ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_even_eq' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ (2 * n) = (a ^ n)⇧2' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'subst' Name
' ' Text.Whitespace
'mult.commute' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_mult' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_odd_eq' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ Suc (2*n) = a * (a ^ n)⇧2' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_even_eq' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_numeral_even' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'z ^ numeral (Num.Bit0 w) = (let w = z ^ (numeral w) in w * w)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'numeral_Bit0' Name
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
' ' Text.Whitespace
'Let_def' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_numeral_odd' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'z ^ numeral (Num.Bit1 w) = (let w = z ^ (numeral w) in z * w * w)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'numeral_Bit1' Name
' ' Text.Whitespace
'One_nat_def' Name
' ' Text.Whitespace
'add_Suc_right' Name
' ' Text.Whitespace
'add_0_right' Name
'\n ' Text.Whitespace
'power_Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
' ' Text.Whitespace
'Let_def' Name
' ' Text.Whitespace
'mult.assoc' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a⇧2 = a * a' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'numeral_2_eq_2' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power3_eq_cube' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ 3 = a * a * a' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'numeral_3_eq_3' Name
' ' Text.Whitespace
'mult.assoc' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power4_eq_xxxx' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x^4 = x * x * x * x' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'mult.assoc' Name
' ' Text.Whitespace
'power_numeral_even' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'funpow_times_power' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(times x ^^ f x) = times (x ^ f x)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'f x' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'arbitrary' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'f' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'fun_eq_iff' Name
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'define' Name
' ' Text.Whitespace
'g' Name
' ' Text.Whitespace
'where' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'g x = f x - 1' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'for' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'x' Name
'\n ' Text.Whitespace
'with' Keyword
' ' Text.Whitespace
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'n = g x' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'with' Keyword
' ' Text.Whitespace
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'times x ^^ g x = times (x ^ g x)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'moreover' Keyword
' ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'g_def' Name
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'f x = g x + 1' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'ultimately' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
' ' Text.Whitespace
'funpow_add' Name
' ' Text.Whitespace
'fun_eq_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'mult.assoc' Name
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_commuting_commutes' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x * y = y * x' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ^ n * y = y * x ^n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ^ Suc n * y = x ^ n * y * x' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'subst' Name
' ' Text.Whitespace
'power_Suc2' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
' ' Text.Whitespace
'ac_simps' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'also' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'… = y * x ^ Suc n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'power_Suc2' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'ac_simps' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'finally' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'.' Operator.Word
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_minus_mult' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 < n ⟹ a ^ (n - 1) * a = a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_commutes' Name
' ' Text.Whitespace
'split' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'nat_diff_split' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'left_right_inverse_power' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x * y = 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ^ n * y ^ n = 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'moreover' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ^ Suc n * y ^ Suc n = x^n * (x * y) * y^n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_Suc2' Name
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'mult.assoc' Name
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'ultimately' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'comm_monoid_mult' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_mult_distrib' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'algebra_simps' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'algebra_split_simps' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'field_simps' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'field_split_simps' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'divide_simps' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(a * b) ^ n = (a ^ n) * (b ^ n)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induction' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'ac_simps' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Extract constant factors from powers.' Literal.String
'›' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'declare' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_mult_distrib' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'where' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'a' Name
' ' Text.Whitespace
'=' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'numeral w' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'for' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'w' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
']' Operator
'\n' Text.Whitespace
'declare' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_mult_distrib' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'where' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'b' Name
' ' Text.Whitespace
'=' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'numeral w' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'for' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'w' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
']' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_add_numeral' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a^numeral m * a^numeral n = a^numeral (m + n)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'for' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'a' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
"'a::monoid_mult" Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_add_numeral2' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a^numeral m * (a^numeral n * b) = a^numeral (m + n) * b' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'for' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'a' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
"'a::monoid_mult" Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'mult.assoc' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_mult_numeral' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(a^numeral m)^numeral n = a^numeral (m * n)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'for' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'a' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
"'a::monoid_mult" Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'numeral_mult' Name
' ' Text.Whitespace
'power_mult' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'semiring_numeral' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'numeral_sqr' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'numeral (Num.sqr k) = numeral k * numeral k' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'sqr_conv_mult' Name
' ' Text.Whitespace
'numeral_mult' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'numeral_pow' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'numeral (Num.pow k l) = numeral k ^ numeral l' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'l' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'numeral_class.numeral.simps' Name
' ' Text.Whitespace
'pow.simps' Name
'\n ' Text.Whitespace
'numeral_sqr' Name
' ' Text.Whitespace
'numeral_mult' Name
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
' ' Text.Whitespace
'power_one_right' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_numeral' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'numeral k ^ numeral l = numeral (Num.pow k l)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'numeral_pow' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'semiring_1' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'of_nat_power' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'of_nat (m ^ n) = of_nat m ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp_all' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'zero_power' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 < n ⟹ 0 ^ n = 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'cases' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp_all' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_zero_numeral' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ^ numeral k = 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'numeral_eq_Suc' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'zero_power2' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0⇧2 = 0' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'(*' Comment
' delete? ' Comment
'*)' Comment
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'power_zero_numeral' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'one_power2' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1⇧2 = 1' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'(*' Comment
' delete? ' Comment
'*)' Comment
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'power_one' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_0_Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ^ Suc n = 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'It looks plausible as a simprule, but its effect can be strange.' Literal.String
'›' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_0_left' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ^ n = (if n = 0 then 1 else 0)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'cases' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp_all' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'semiring_char_0' Name
' ' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'numeral_power_eq_of_nat_cancel_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'numeral x ^ n = of_nat y ⟷ numeral x ^ n = y' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'of_nat_eq_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'fastforce' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'real_of_nat_eq_numeral_power_cancel_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'of_nat y = numeral x ^ n ⟷ y = numeral x ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'numeral_power_eq_of_nat_cancel_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'x' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
' ' Text.Whitespace
'y' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'metis' Name
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'mono_tags' Name
')' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'of_nat_eq_of_nat_power_cancel_iff' Name
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(of_nat b) ^ w = of_nat x ⟷ b ^ w = x' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'metis' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_power' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_eq_iff' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'of_nat_power_eq_of_nat_cancel_iff' Name
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'of_nat x = (of_nat b) ^ w ⟷ x = b ^ w' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'metis' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_eq_of_nat_power_cancel_iff' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'comm_semiring_1' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'The divides relation.' Literal.String
'›' Literal.String
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'le_imp_power_dvd' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'm ≤ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ m dvd a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ n = a ^ (m + (n - m))' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'also' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'… = a ^ m * a ^ (n - m)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'finally' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ n = a ^ m * a ^ (n - m)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'.' Operator.Word
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_le_dvd' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ n dvd b ⟹ m ≤ n ⟹ a ^ m dvd b' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'dvd_trans' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'le_imp_power_dvd' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'dvd_power_same' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x dvd y ⟹ x ^ n dvd y ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'mult_dvd_mono' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'dvd_power_le' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x dvd y ⟹ m ≥ n ⟹ x ^ n dvd y ^ m' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'power_le_dvd' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'dvd_power_same' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'dvd_power' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'fixes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'n' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'nat' Name
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'n > 0 ∨ x = 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x dvd (x ^ n)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'assume' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 < n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ^ n = x ^ Suc (n - 1)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x dvd (x ^ n)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'assume' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x = 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x dvd (x ^ n)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'semiring_1_no_zero_divisors' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'subclass' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power' Name
' ' Text.Whitespace
'.' Operator.Word
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_eq_0_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ n = 0 ⟷ a = 0 ∧ n > 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_not_zero' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ≠ 0 ⟹ a ^ n ≠ 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'zero_eq_power2' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a⇧2 = 0 ⟷ a = 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'unfolding' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'ring_1' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_minus' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(- a) ^ n = (- 1) ^ n * a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'del' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_Suc2' Name
' ' Text.Whitespace
'mult.assoc' Name
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
"power_minus'" Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'NO_MATCH 1 x ⟹ (-x) ^ n = (-1)^n * x ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'power_minus' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_minus_Bit0' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(- x) ^ numeral (Num.Bit0 k) = x ^ numeral (Num.Bit0 k)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'k' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'numeral_class.numeral.simps' Name
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
'\n ' Text.Whitespace
'power_one_right' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_minus_left' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_minus_right' Name
' ' Text.Whitespace
'minus_minus' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_minus_Bit1' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(- x) ^ numeral (Num.Bit1 k) = - (x ^ numeral (Num.Bit1 k))' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'eval_nat_numeral' Name
'(' Operator
'3' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'power_minus_Bit0' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_minus_left' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_minus' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(- a)⇧2 = a⇧2' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'fact' Name
' ' Text.Whitespace
'power_minus_Bit0' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_minus1_even' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(- 1) ^ (2*n) = 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_minus1_odd' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(- 1) ^ Suc (2*n) = -1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_minus_even' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(-a) ^ (2*n) = a ^ (2*n)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_minus' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'a' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'ring_1_no_zero_divisors' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_1_iff' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a⇧2 = 1 ⟷ a = 1 ∨ a = - 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'square_eq_1_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'a' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'idom' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_iff' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x⇧2 = y⇧2 ⟷ x = y ∨ x = - y' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'unfolding' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'square_eq_iff' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'semidom_divide' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_diff' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ (m - n) = (a ^ m) div (a ^ n)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'if' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ≠ 0' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'and' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'n ≤ m' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'-' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'define' Name
' ' Text.Whitespace
'q' Name
' ' Text.Whitespace
'where' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'q = m - n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'with' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'n ≤ m' Literal.String
'›' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'm = q + n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'with' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'a ≠ 0' Literal.String
'›' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'q_def' Name
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'algebraic_semidom' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'div_power' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'b dvd a ⟹ (a div b) ^ n = a ^ n div b ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'div_mult_div_if_dvd' Name
' ' Text.Whitespace
'dvd_power_same' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'is_unit_power_iff' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'is_unit (a ^ n) ⟷ is_unit a ∨ n = 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'is_unit_mult_iff' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'dvd_power_iff' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ≠ 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ^ m dvd x ^ n ⟷ is_unit x ∨ m ≤ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'assume' Keyword
' ' Text.Whitespace
'*' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ^ m dvd x ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'{' Operator.Word
'\n ' Text.Whitespace
'assume' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'm > n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'note' Keyword
' ' Text.Whitespace
'*' Name
'\n ' Text.Whitespace
'also' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ^ n = x ^ n * 1' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'also' Keyword
' ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'm > n' Literal.String
'›' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'm = n + (m - n)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'also' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ^ … = x ^ n * x ^ (m - n)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'finally' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ^ (m - n) dvd 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'subst' Name
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'asm' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'dvd_times_left_cancel_iff' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'insert' Name
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp_all' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'with' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'm > n' Literal.String
'›' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'is_unit x' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'is_unit_power_iff' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'}' Operator.Word
'\n ' Text.Whitespace
'thus' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'is_unit x ∨ m ≤ n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'force' Name
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'intro' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'unit_imp_dvd' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'is_unit_power_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'le_imp_power_dvd' Name
')' Operator
'\n\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'normalization_semidom_multiplicative' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'normalize_power' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'normalize (a ^ n) = normalize a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'normalize_mult' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'unit_factor_power' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'unit_factor (a ^ n) = unit_factor a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'unit_factor_mult' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'division_ring' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Perhaps these should be simprules.' Literal.String
'›' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_inverse' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'field_simps' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'field_split_simps' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'divide_simps' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'inverse a ^ n = inverse (a ^ n)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'cases' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a = 0' Literal.String
'"' Literal.String
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'True' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_0_left' Name
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'False' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'inverse (a ^ n) = inverse a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'nonzero_inverse_mult_distrib' Name
' ' Text.Whitespace
'power_commutes' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_one_over' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'field_simps' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'field_split_simps' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'divide_simps' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(1 / a) ^ n = 1 / a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_inverse' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'a' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'divide_inverse' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'field' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_divide' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'field_simps' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'field_split_simps' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'divide_simps' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp_all' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n\n' Text.Whitespace
'subsection' Generic.Subheading
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Exponentiation on ordered types' Literal.String
'›' Literal.String
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'linordered_semidom' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'zero_less_power' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 < a ⟹ 0 < a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp_all' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'zero_le_power' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ≤ a ⟹ 0 ≤ a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp_all' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_mono' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ≤ b ⟹ 0 ≤ a ⟹ a ^ n ≤ b ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'intro' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'mult_mono' Name
' ' Text.Whitespace
'order_trans' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'0' Name
' ' Text.Whitespace
'a' Name
' ' Text.Whitespace
'b' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'one_le_power' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 ≤ a ⟹ 1 ≤ a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_mono' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'1' Name
' ' Text.Whitespace
'a' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_le_one' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ≤ a ⟹ a ≤ 1 ⟹ a ^ n ≤ 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_mono' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'a' Name
' ' Text.Whitespace
'1' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_gt1_lemma' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'gt1' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 < a' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 < a * a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'-' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'gt1' Name
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ≤ a' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'fact' Name
' ' Text.Whitespace
'order_trans' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'zero_le_one' Name
' ' Text.Whitespace
'less_imp_le' Name
']' Operator
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'gt1' Name
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 * 1 < a * 1' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'also' Keyword
' ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'gt1' Name
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'… ≤ a * a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'mult_mono' Name
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'0 ≤ a' Literal.String
'›' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'one_le_power' Name
' ' Text.Whitespace
'order_less_imp_le' Name
' ' Text.Whitespace
'zero_le_one' Name
' ' Text.Whitespace
'order_refl' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'finally' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_gt1' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 < a ⟹ 1 < a ^ Suc n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_gt1_lemma' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'one_less_power' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 < a ⟹ 0 < n ⟹ 1 < a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'cases' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_gt1_lemma' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_le_imp_le_exp' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'gt1' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 < a' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ m ≤ a ^ n ⟹ m ≤ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'm' Name
' ' Text.Whitespace
'arbitrary' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'm' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'cases' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'with' Keyword
' ' Text.Whitespace
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a * a ^ m ≤ 1' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'with' Keyword
' ' Text.Whitespace
'gt1' Name
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'force' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_gt1_lemma' Name
' ' Text.Whitespace
'not_less' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'with' Keyword
' ' Text.Whitespace
'Suc.prems' Name
' ' Text.Whitespace
'Suc.hyps' Name
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'force' Name
' ' Text.Whitespace
'dest' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'mult_left_le_imp_le' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'less_trans' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'zero_less_one' Name
' ' Text.Whitespace
'gt1' Name
']' Operator
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'of_nat_zero_less_power_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'of_nat x ^ n > 0 ⟷ x > 0 ∨ n = 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Surely we can strengthen this? It holds for ' Literal.String
'‹' Literal.String
'0<a<1' Literal.String
'›' Literal.String
' too.' Literal.String
'›' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_inject_exp' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'a ^ m = a ^ n ⟷ m = n' Literal.String
'›' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'if' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'1 < a' Literal.String
'›' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'that' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'force' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'order_class.order.antisym' Name
' ' Text.Whitespace
'power_le_imp_le_exp' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'\n Can relax the first premise to ' Literal.String
'\\<^term>' Literal.String.Symbol
'‹' Literal.String
'0<a' Literal.String
'›' Literal.String
' in the case of the\n natural numbers.\n' Literal.String
'›' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_less_imp_less_exp' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 < a ⟹ a ^ m < a ^ n ⟹ m < n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'order_less_le' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'm' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'less_le' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a^m' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a^n' Literal.String
'"' Literal.String
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_le_imp_le_exp' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_strict_mono' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'rule_format' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a < b ⟹ 0 ≤ a ⟹ 0 < n ⟶ a ^ n < b ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'mult_strict_mono' Name
' ' Text.Whitespace
'le_less_trans' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'0' Name
' ' Text.Whitespace
'a' Name
' ' Text.Whitespace
'b' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_mono_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'⟦a ≥ 0; b ≥ 0; n>0⟧ ⟹ a ^ n ≤ b ^ n ⟷ a ≤ b' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_mono' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'a' Name
' ' Text.Whitespace
'b' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_strict_mono' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'b' Name
' ' Text.Whitespace
'a' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'not_le' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
'‹' Literal.String
'Lemma for ' Literal.String
'‹' Literal.String
'power_strict_decreasing' Literal.String
'›' Literal.String
'›' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_Suc_less' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 < a ⟹ a < 1 ⟹ a * a ^ n < a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'mult_strict_left_mono' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_strict_decreasing' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'rule_format' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'n < N ⟹ 0 < a ⟹ a < 1 ⟶ a ^ N < a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'N' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'N' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_Suc_less' Name
' ' Text.Whitespace
'less_Suc_eq' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'subgoal_tac' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a * a^N < 1 * a^n' Literal.String
'"' Literal.String
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_strict_mono' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n ' Text.Whitespace
'done' Keyword
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Proof resembles that of ' Literal.String
'‹' Literal.String
'power_strict_decreasing' Literal.String
'›' Literal.String
'.' Literal.String
'›' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_decreasing' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'n ≤ N ⟹ 0 ≤ a ⟹ a ≤ 1 ⟹ a ^ N ≤ a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'N' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'N' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'le_Suc_eq' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'subgoal_tac' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a * a^N ≤ 1 * a^n' Literal.String
'"' Literal.String
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_mono' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n ' Text.Whitespace
'done' Keyword
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_decreasing_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'⟦0 < b; b < 1⟧ ⟹ b ^ m ≤ b ^ n ⟷ n ≤ m' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_strict_decreasing' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'm' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
' ' Text.Whitespace
'b' Name
']' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'intro' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_decreasing' Name
' ' Text.Whitespace
'ccontr' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_strict_decreasing_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'⟦0 < b; b < 1⟧ ⟹ b ^ m < b ^ n ⟷ n < m' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_decreasing_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'b' Name
' ' Text.Whitespace
'm' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'unfolding' Keyword
' ' Text.Whitespace
'le_less' Name
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'dest' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_strict_decreasing' Name
' ' Text.Whitespace
'le_neq_implies_less' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_Suc_less_one' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 < a ⟹ a < 1 ⟹ a ^ Suc n < 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_strict_decreasing' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'0' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'Suc n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'a' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Proof again resembles that of ' Literal.String
'‹' Literal.String
'power_strict_decreasing' Literal.String
'›' Literal.String
'.' Literal.String
'›' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_increasing' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'n ≤ N ⟹ 1 ≤ a ⟹ a ^ n ≤ a ^ N' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'N' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'N' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'le_Suc_eq' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'subgoal_tac' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 * a^n ≤ a * a^N' Literal.String
'"' Literal.String
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_mono' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'order_trans' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'zero_le_one' Name
']' Operator
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'done' Keyword
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Lemma for ' Literal.String
'‹' Literal.String
'power_strict_increasing' Literal.String
'›' Literal.String
'.' Literal.String
'›' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_less_power_Suc' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 < a ⟹ a ^ n < a * a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'mult_strict_left_mono' Name
' ' Text.Whitespace
'less_trans' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'zero_less_one' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_strict_increasing' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'n < N ⟹ 1 < a ⟹ a ^ n < a ^ N' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'N' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'N' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_less_power_Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'less_Suc_eq' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'subgoal_tac' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 * a^n < a * a^N' Literal.String
'"' Literal.String
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_strict_mono' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'apply' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'less_trans' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'zero_less_one' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'less_imp_le' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'done' Keyword
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_increasing_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 < b ⟹ b ^ x ≤ b ^ y ⟷ x ≤ y' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'blast' Name
' ' Text.Whitespace
'intro' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_le_imp_le_exp' Name
' ' Text.Whitespace
'power_increasing' Name
' ' Text.Whitespace
'less_imp_le' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_strict_increasing_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 < b ⟹ b ^ x < b ^ y ⟷ x < y' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'blast' Name
' ' Text.Whitespace
'intro' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_less_imp_less_exp' Name
' ' Text.Whitespace
'power_strict_increasing' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_le_imp_le_base' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'le' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ Suc n ≤ b ^ Suc n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'and' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ≤ b' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ≤ b' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'ccontr' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assume' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'¬ ?thesis' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'b < a' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'linorder_not_le' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'b ^ Suc n < a ^ Suc n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
'(' Operator
'2' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_strict_mono' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'with' Keyword
' ' Text.Whitespace
'le' Name
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'False' Name
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'linorder_not_less' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_less_imp_less_base' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'less' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ n < b ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'nonneg' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ≤ b' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a < b' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'contrapos_pp' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'less' Name
']' Operator
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assume' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'¬ ?thesis' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'b ≤ a' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'linorder_not_less' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'this' Name
' ' Text.Whitespace
'nonneg' Name
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'b ^ n ≤ a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'power_mono' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'¬ a ^ n < b ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'linorder_not_less' Name
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_inject_base' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ Suc n = b ^ Suc n ⟹ 0 ≤ a ⟹ 0 ≤ b ⟹ a = b' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'blast' Name
' ' Text.Whitespace
'intro' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_le_imp_le_base' Name
' ' Text.Whitespace
'order.antisym' Name
' ' Text.Whitespace
'eq_refl' Name
' ' Text.Whitespace
'sym' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_eq_imp_eq_base' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ n = b ^ n ⟹ 0 ≤ a ⟹ 0 ≤ b ⟹ 0 < n ⟹ a = b' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'cases' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'del' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_Suc' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'power_inject_base' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_eq_iff_eq_base' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 < n ⟹ 0 ≤ a ⟹ 0 ≤ b ⟹ a ^ n = b ^ n ⟷ a = b' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_eq_imp_eq_base' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'a' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
' ' Text.Whitespace
'b' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_le_imp_le' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x⇧2 ≤ y⇧2 ⟹ 0 ≤ y ⟹ x ≤ y' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'unfolding' Keyword
' ' Text.Whitespace
'numeral_2_eq_2' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'power_le_imp_le_base' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_less_imp_less' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x⇧2 < y⇧2 ⟹ 0 ≤ y ⟹ x < y' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'power_less_imp_less_base' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_imp_eq' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x⇧2 = y⇧2 ⟹ 0 ≤ x ⟹ 0 ≤ y ⟹ x = y' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'unfolding' Keyword
' ' Text.Whitespace
'numeral_2_eq_2' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'erule' Name
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'2' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_eq_imp_eq_base' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_Suc_le_self' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ≤ a ⟹ a ≤ 1 ⟹ a ^ Suc n ≤ a' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_decreasing' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'1' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'Suc n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'a' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_iff_nonneg' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ≤ x' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ≤ y' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(x ^ 2 = y ^ 2) ⟷ x = y' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_imp_eq' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'blast' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'of_nat_less_numeral_power_cancel_iff' Name
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'of_nat x < numeral i ^ n ⟷ x < numeral i ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'of_nat_less_iff' Name
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'x' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'numeral i ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'unfolded' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_numeral' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_power' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'.' Operator.Word
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'of_nat_le_numeral_power_cancel_iff' Name
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'of_nat x ≤ numeral i ^ n ⟷ x ≤ numeral i ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'of_nat_le_iff' Name
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'x' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'numeral i ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'unfolded' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_numeral' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_power' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'.' Operator.Word
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'numeral_power_less_of_nat_cancel_iff' Name
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'numeral i ^ n < of_nat x ⟷ numeral i ^ n < x' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'of_nat_less_iff' Name
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'numeral i ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'x' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'unfolded' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_numeral' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_power' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'.' Operator.Word
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'numeral_power_le_of_nat_cancel_iff' Name
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'numeral i ^ n ≤ of_nat x ⟷ numeral i ^ n ≤ x' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'of_nat_le_iff' Name
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'numeral i ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'x' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'unfolded' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_numeral' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_power' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'.' Operator.Word
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'of_nat_le_of_nat_power_cancel_iff' Name
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(of_nat b) ^ w ≤ of_nat x ⟷ b ^ w ≤ x' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'metis' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_le_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_power' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'of_nat_power_le_of_nat_cancel_iff' Name
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'of_nat x ≤ (of_nat b) ^ w ⟷ x ≤ b ^ w' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'metis' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_le_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_power' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'of_nat_less_of_nat_power_cancel_iff' Name
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(of_nat b) ^ w < of_nat x ⟷ b ^ w < x' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'metis' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_less_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_power' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'of_nat_power_less_of_nat_cancel_iff' Name
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'of_nat x < (of_nat b) ^ w ⟷ x < b ^ w' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'metis' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_less_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'of_nat_power' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Some @' Literal.String
'{' Literal.String
'typ nat' Literal.String
'}' Literal.String
'-specific lemmas:' Literal.String
'›' Literal.String
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'mono_ge2_power_minus_self' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'k ≥ 2' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'mono (λm. k ^ m - m)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'unfolding' Keyword
' ' Text.Whitespace
'mono_iff_le_Suc' Name
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'fix' Keyword
' ' Text.Whitespace
'n' Name
'\n ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'k ^ n < k ^ Suc n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_strict_increasing_iff' Name
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'k' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'Suc n' Literal.String
'"' Literal.String
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'linarith' Name
'\n ' Text.Whitespace
'thus' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'k ^ n - n ≤ k ^ Suc n - Suc n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'linarith' Name
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'self_le_ge2_pow' Name
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'k ≥ 2' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'm ≤ k ^ m' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induction' Name
' ' Text.Whitespace
'm' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'm' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'hence' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'Suc m ≤ Suc (k ^ m)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'also' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'... ≤ k^m + k^m' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'one_le_power' Name
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'k' Name
' ' Text.Whitespace
'm' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'linarith' Name
'\n ' Text.Whitespace
'also' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'... ≤ k * k^m' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'metis' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_2' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_le_mono1' Name
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
']' Operator
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'finally' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'diff_le_diff_pow' Name
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'k ≥ 2' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'm - n ≤ k ^ m - k ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'cases' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'n ≤ m' Literal.String
'"' Literal.String
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'True' Name
'\n ' Text.Whitespace
'thus' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'monoD' Name
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'mono_ge2_power_minus_self' Name
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'True' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'self_le_ge2_pow' Name
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'm' Name
']' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'le_diff_conv' Name
' ' Text.Whitespace
'le_diff_conv2' Name
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'linordered_ring_strict' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'sum_squares_eq_zero_iff' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x * x + y * y = 0 ⟷ x = 0 ∧ y = 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'add_nonneg_eq_0_iff' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'sum_squares_le_zero_iff' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x * x + y * y ≤ 0 ⟷ x = 0 ∧ y = 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'le_less' Name
' ' Text.Whitespace
'not_sum_squares_lt_zero' Name
' ' Text.Whitespace
'sum_squares_eq_zero_iff' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'sum_squares_gt_zero_iff' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 < x * x + y * y ⟷ x ≠ 0 ∨ y ≠ 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'not_le' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'sum_squares_le_zero_iff' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'linordered_idom' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'zero_le_power2' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ≤ a⇧2' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'zero_less_power2' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 < a⇧2 ⟷ a ≠ 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'force' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
' ' Text.Whitespace
'zero_less_mult_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'linorder_neq_iff' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_less_0' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'¬ a⇧2 < 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'force' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_less_0_iff' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_abs' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'¦a ^ n¦ = ¦a¦ ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'―' Name
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'FIXME simp?' Literal.String
'›' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'abs_mult' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_sgn' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'sgn (a ^ n) = sgn a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp_all' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'sgn_mult' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'abs_power_minus' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'¦(- a) ^ n¦ = ¦a ^ n¦' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_abs' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'zero_less_power_abs_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 < ¦a¦ ^ n ⟷ a ≠ 0 ∨ n = 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'Suc' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'zero_less_mult_iff' Name
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'zero_le_power_abs' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ≤ ¦a¦ ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'zero_le_power' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'abs_ge_zero' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_less_eq_zero_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a⇧2 ≤ 0 ⟷ a = 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'le_less' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'abs_power2' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'¦a⇧2¦ = a⇧2' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_abs' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'¦a¦⇧2 = a⇧2' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'odd_power_less_zero' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a < 0 ⟹ a ^ Suc (2 * n) < 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ Suc (2 * Suc n) = (a*a) * a ^ Suc(2*n)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'ac_simps' Name
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'del' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_less_0_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_neg_neg' Name
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'odd_0_le_power_imp_0_le' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ≤ a ^ Suc (2 * n) ⟹ 0 ≤ a' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'odd_power_less_zero' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'a' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
']' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'force' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'linorder_not_less' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
"zero_le_even_power'" Name
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ≤ a ^ (2 * n)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'a ^ (2 * Suc n) = (a*a) * a ^ (2*n)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'ac_simps' Name
' ' Text.Whitespace
'power_add' Name
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'zero_le_mult_iff' Name
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'sum_power2_ge_zero' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 ≤ x⇧2 + y⇧2' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'intro' Name
' ' Text.Whitespace
'add_nonneg_nonneg' Name
' ' Text.Whitespace
'zero_le_power2' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'not_sum_power2_lt_zero' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'¬ x⇧2 + y⇧2 < 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'unfolding' Keyword
' ' Text.Whitespace
'not_less' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'sum_power2_ge_zero' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'sum_power2_eq_zero_iff' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x⇧2 + y⇧2 = 0 ⟷ x = 0 ∧ y = 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'unfolding' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'add_nonneg_eq_0_iff' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'sum_power2_le_zero_iff' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x⇧2 + y⇧2 ≤ 0 ⟷ x = 0 ∧ y = 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'le_less' Name
' ' Text.Whitespace
'sum_power2_eq_zero_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'not_sum_power2_lt_zero' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'sum_power2_gt_zero_iff' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 < x⇧2 + y⇧2 ⟷ x ≠ 0 ∨ y ≠ 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'unfolding' Keyword
' ' Text.Whitespace
'not_le' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'sum_power2_le_zero_iff' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'abs_le_square_iff' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'¦x¦ ≤ ¦y¦ ⟷ x⇧2 ≤ y⇧2' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'(' Operator
'is' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'?lhs ⟷ ?rhs' Literal.String
'"' Literal.String
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'assume' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'lhs' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'¦x¦⇧2 ≤ ¦y¦⇧2' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'power_mono' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'rhs' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'assume' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'rhs' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'lhs' Name
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'intro' Name
'!' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power2_le_imp_le' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'_' Operator
' ' Text.Whitespace
'abs_ge_zero' Name
']' Operator
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_le_iff_abs_le' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'y ≥ 0 ⟹ x⇧2 ≤ y⇧2 ⟷ ¦x¦ ≤ y' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'metis' Name
' ' Text.Whitespace
'abs_le_square_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'abs_of_nonneg' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'abs_square_le_1' Name
':' Operator
'"' Literal.String
'x⇧2 ≤ 1 ⟷ ¦x¦ ≤ 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'abs_le_square_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'x' Name
' ' Text.Whitespace
'1' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'abs_square_eq_1' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x⇧2 = 1 ⟷ ¦x¦ = 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'abs_if' Name
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_1_iff' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'abs_square_less_1' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x⇧2 < 1 ⟷ ¦x¦ < 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'abs_square_eq_1' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'x' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'abs_square_le_1' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'x' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'le_less' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'square_le_1' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'- 1 ≤ x' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ≤ 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x⇧2 ≤ 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'metis' Name
' ' Text.Whitespace
'add.inverse_inverse' Name
' ' Text.Whitespace
'linear' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_le_one' Name
' ' Text.Whitespace
'neg_equal_0_iff_equal' Name
' ' Text.Whitespace
'neg_le_iff_le' Name
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
' ' Text.Whitespace
'power_minus_Bit0' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n\n' Text.Whitespace
'subsection' Generic.Subheading
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Miscellaneous rules' Literal.String
'›' Literal.String
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'in' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'linordered_semidom' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'self_le_power' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 ≤ a ⟹ 0 < n ⟹ a ≤ a ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_increasing' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'1' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
' ' Text.Whitespace
'a' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_one_right' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'a' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'in' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'power' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_eq_if' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'p ^ m = (if m=0 then 1 else p * (p ^ (m - 1)))' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'unfolding' Keyword
' ' Text.Whitespace
'One_nat_def' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'cases' Name
' ' Text.Whitespace
'm' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'simp_all' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'in' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'comm_semiring_1' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'power2_sum' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(x + y)⇧2 = x⇧2 + y⇧2 + 2 * x * y' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'algebra_simps' Name
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_2_right' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'context' Keyword
' ' Text.Whitespace
'comm_ring_1' Name
'\n' Text.Whitespace
'begin' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_diff' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(x - y)⇧2 = x⇧2 + y⇧2 - 2 * x * y' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'algebra_simps' Name
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
' ' Text.Whitespace
'mult_2_right' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_commute' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(x - y)⇧2 = (y - x)⇧2' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'algebra_simps' Name
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'minus_power_mult_self' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(- a) ^ n * (- a) ^ n = a ^ (2 * n)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_mult_distrib' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_mult' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'minus_one_mult_self' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(- 1) ^ n * (- 1) ^ n = 1' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'minus_power_mult_self' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'1' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'left_minus_one_mult_self' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'(- 1) ^ n * ((- 1) ^ n * a) = a' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'mult.assoc' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Simprules for comparisons where common factors can be cancelled.' Literal.String
'›' Literal.String
'\n\n' Text.Whitespace
'lemmas' Keyword
' ' Text.Whitespace
'zero_compare_simps' Name
' ' Text.Whitespace
'=' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'add_strict_increasing' Name
' ' Text.Whitespace
'add_strict_increasing2' Name
' ' Text.Whitespace
'add_increasing' Name
'\n ' Text.Whitespace
'zero_le_mult_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'zero_le_divide_iff' Name
'\n ' Text.Whitespace
'zero_less_mult_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'zero_less_divide_iff' Name
'\n ' Text.Whitespace
'mult_le_0_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'divide_le_0_iff' Name
'\n ' Text.Whitespace
'mult_less_0_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'divide_less_0_iff' Name
'\n ' Text.Whitespace
'zero_le_power2' Name
' ' Text.Whitespace
'power2_less_0' Name
'\n\n\n' Text.Whitespace
'subsection' Generic.Subheading
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Exponentiation for the Natural Numbers' Literal.String
'›' Literal.String
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'nat_one_le_power' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'Suc 0 ≤ i ⟹ Suc 0 ≤ i ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'one_le_power' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'of' Name
' ' Text.Whitespace
'i' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
',' Operator
' ' Text.Whitespace
'unfolded' Name
' ' Text.Whitespace
'One_nat_def' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'nat_zero_less_power_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ^ n > 0 ⟷ x > 0 ∨ n = 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'for' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'x' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'nat' Name
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'nat_power_eq_Suc_0_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'x ^ m = Suc 0 ⟷ m = 0 ∨ x = Suc 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'm' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_Suc_0' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'Suc 0 ^ n = Suc 0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'text' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'\n Valid for the naturals, but what if ' Literal.String
'‹' Literal.String
'0 < i < 1' Literal.String
'›' Literal.String
'? Premises cannot be\n weakened: consider the case where ' Literal.String
'‹' Literal.String
'i = 0' Literal.String
'›' Literal.String
', ' Literal.String
'‹' Literal.String
'm = 1' Literal.String
'›' Literal.String
' and ' Literal.String
'‹' Literal.String
'n = 0' Literal.String
'›' Literal.String
'.\n' Literal.String
'›' Literal.String
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'nat_power_less_imp_less' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'fixes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'i' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'nat' Name
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'nonneg' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'0 < i' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'less' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'i ^ m < i ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'm < n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'cases' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'i = 1' Literal.String
'"' Literal.String
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'True' Name
'\n ' Text.Whitespace
'with' Keyword
' ' Text.Whitespace
'less' Name
' ' Text.Whitespace
'power_one' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'where' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
"'a" Name.Type
' ' Text.Whitespace
'=' Operator
' ' Text.Whitespace
'nat' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'False' Name
'\n ' Text.Whitespace
'with' Keyword
' ' Text.Whitespace
'nonneg' Name
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 < i' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'power_strict_increasing_iff' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'this' Name
']' Operator
' ' Text.Whitespace
'less' Name
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
' ' Text.Whitespace
'..' Operator.Word
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_gt_expt' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'n > Suc 0 ⟹ n^k > k' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induction' Name
' ' Text.Whitespace
'k' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'less_trans_Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'n_less_m_mult_n' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'less_exp' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'n < 2 ^ n' Literal.String
'›' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_gt_expt' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power_dvd_imp_le' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'fixes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'i' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'nat' Name
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'i ^ m dvd i ^ n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 < i' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'm ≤ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'intro' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_le_imp_le_exp' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'1 < i' Literal.String
'›' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'dvd_imp_le' Name
']' Operator
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'dvd_power_iff_le' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'fixes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'k' Name
'::' Operator
'nat' Name
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'2 ≤ k ⟹ ((k ^ m) dvd (k ^ n) ⟷ m ≤ n)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'le_imp_power_dvd' Name
' ' Text.Whitespace
'power_dvd_imp_le' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'force' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_nat_le_eq_le' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'm⇧2 ≤ n⇧2 ⟷ m ≤ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'for' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'm' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'nat' Name
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'auto' Name
' ' Text.Whitespace
'intro' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power2_le_imp_le' Name
' ' Text.Whitespace
'power_mono' Name
')' Operator
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'power2_nat_le_imp_le' Name
':' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'fixes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'm' Name
' ' Text.Whitespace
'n' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'nat' Name
'\n ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'm⇧2 ≤ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'm ≤ n' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'cases' Name
' ' Text.Whitespace
'm' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'k' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
'\n ' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'ccontr' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'assume' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'¬ ?thesis' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'then' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'n < m' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'with' Keyword
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
' ' Text.Whitespace
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'False' Name
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power2_eq_square' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'ex_power_ivl1' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'fixes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'b' Name
' ' Text.Whitespace
'k' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'nat' Name
' ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'b ≥ 2' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'k ≥ 1 ⟹ ∃n. b^n ≤ k ∧ k < b^(n+1)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'is' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'_ ⟹ ∃n. ?P k n' Literal.String
'"' Literal.String
')' Operator
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
'(' Operator
'induction' Name
' ' Text.Whitespace
'k' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'0' Name
' ' Text.Whitespace
'thus' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'k' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'cases' Name
'\n ' Text.Whitespace
'assume' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'k=0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'hence' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'?P (Suc k) 0' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'thus' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'..' Operator.Word
'\n ' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'assume' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'k≠0' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'with' Keyword
' ' Text.Whitespace
'Suc' Name
' ' Text.Whitespace
'obtain' Keyword
' ' Text.Whitespace
'n' Name
' ' Text.Whitespace
'where' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'IH' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'?P k n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'cases' Name
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'k = b^(n+1) - 1' Literal.String
'"' Literal.String
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'True' Name
'\n ' Text.Whitespace
'hence' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'?P (Suc k) (n+1)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'power_less_power_Suc' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'thus' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
' ' Text.Whitespace
'..' Operator.Word
'\n ' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'False' Name
'\n ' Text.Whitespace
'hence' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'?P (Suc k) n' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'IH' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n ' Text.Whitespace
'thus' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
' ' Text.Whitespace
'..' Operator.Word
'\n ' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'ex_power_ivl2' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'fixes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'b' Name
' ' Text.Whitespace
'k' Name
' ' Text.Whitespace
'::' Operator
' ' Text.Whitespace
'nat' Name
' ' Text.Whitespace
'assumes' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'b ≥ 2' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'k ≥ 2' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'shows' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'∃n. b^n < k ∧ k ≤ b^(n+1)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'-' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'1 ≤ k - 1' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
'(' Operator
'2' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'arith' Name
'\n ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'ex_power_ivl1' Name
'[' Operator
'OF' Name
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
'(' Operator
'1' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'this' Name
']' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'obtain' Keyword
' ' Text.Whitespace
'n' Name
' ' Text.Whitespace
'where' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'b ^ n ≤ k - 1 ∧ k - 1 < b ^ (n + 1)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'..' Operator.Word
'\n ' Text.Whitespace
'hence' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'b^n < k ∧ k ≤ b^(n+1)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'using' Keyword
' ' Text.Whitespace
'assms' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n ' Text.Whitespace
'thus' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'thesis' Name
' ' Text.Whitespace
'..' Operator.Word
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n\n' Text.Whitespace
'subsubsection' Generic.Subheading
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Cardinality of the Powerset' Literal.String
'›' Literal.String
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'card_UNIV_bool' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'simp' Name
']' Operator
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'card (UNIV :: bool set) = 2' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'unfolding' Keyword
' ' Text.Whitespace
'UNIV_bool' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'lemma' Keyword.Namespace
' ' Text.Whitespace
'card_Pow' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'finite A ⟹ card (Pow A) = 2 ^ card A' Literal.String
'"' Literal.String
'\n' Text.Whitespace
'proof' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'induct' Name
' ' Text.Whitespace
'rule' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'finite_induct' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'empty' Name
'\n ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n' Text.Whitespace
'next' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'insert' Name
' ' Text.Whitespace
'x' Name
' ' Text.Whitespace
'A' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'x ∉ A' Literal.String
'›' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'disjoint' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'Pow A ∩ insert x ` Pow A = {}' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'blast' Name
'\n ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'x ∉ A' Literal.String
'›' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'inj_on' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'inj_on (insert x) (Pow A)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'unfolding' Keyword
' ' Text.Whitespace
'inj_on_def' Name
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'auto' Name
'\n\n ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'card (Pow (insert x A)) = card (Pow A ∪ insert x ` Pow A)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'only' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'Pow_insert' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'also' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'… = card (Pow A) + card (insert x ` Pow A)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'card_Un_disjoint' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'use' Name
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'finite A' Literal.String
'›' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'disjoint' Name
' ' Text.Whitespace
'in' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'simp_all' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'also' Keyword
' ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'inj_on' Name
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'card (insert x ` Pow A) = card (Pow A)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'card_image' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'also' Keyword
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'… + … = 2 * …' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'simp' Name
' ' Text.Whitespace
'add' Name
':' Operator
' ' Text.Whitespace
'mult_2' Name
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'also' Keyword
' ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'insert' Name
'(' Operator
'3' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'… = 2 ^ Suc (card A)' Literal.String
'"' Literal.String
' ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'simp' Name
'\n ' Text.Whitespace
'also' Keyword
' ' Text.Whitespace
'from' Keyword
' ' Text.Whitespace
'insert' Name
'(' Operator
'1' Name
',' Operator
'2' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'have' Keyword
' ' Text.Whitespace
'"' Literal.String
'Suc (card A) = card (insert x A)' Literal.String
'"' Literal.String
'\n ' Text.Whitespace
'by' Keyword
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'rule' Name
' ' Text.Whitespace
'card_insert_disjoint' Name
' ' Text.Whitespace
'[' Operator
'symmetric' Name
']' Operator
')' Operator
'\n ' Text.Whitespace
'finally' Keyword
' ' Text.Whitespace
'show' Keyword
' ' Text.Whitespace
'?' Operator
'case' Keyword
' ' Text.Whitespace
'.' Operator.Word
'\n' Text.Whitespace
'qed' Keyword
'\n\n\n' Text.Whitespace
'subsection' Generic.Subheading
' ' Text.Whitespace
'‹' Literal.String
'Code generator tweak' Literal.String
'›' Literal.String
'\n\n' Text.Whitespace
'code_identifier' Keyword
'\n ' Text.Whitespace
'code_module' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'Power' Name
' ' Text.Whitespace
'⇀' Name
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'SML' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'Arith' Name
' ' Text.Whitespace
'and' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'OCaml' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'Arith' Name
' ' Text.Whitespace
'and' Keyword.Pseudo
' ' Text.Whitespace
'(' Operator
'Haskell' Name
')' Operator
' ' Text.Whitespace
'Arith' Name
'\n\n' Text.Whitespace
'end' Keyword
'\n' Text.Whitespace
Reference in a new issue View git blame Copy permalink